Курсовая работа: Имитационное моделирование системы массового обслуживания. Показатели эффективности функционирования смо Смо выбор показателей эффективности системы

Курсовая работа

«Имитационное моделирование системы массового обслуживания»

по курсу «Исследование операций»

Введение

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания (СМО). Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов, станций), которые называются каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки, вычислительные машины, продавцы и др. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные.

Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований). Обслуживание заявок также продолжается какое-то случайное время. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказывается загруженной неравномерно: в какие-то периоды времени скапливается очень большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными), в другие же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает.

Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок. В качестве показателей эффективности СМО используются:

– Абсолютная пропускная способность системы (А

Q

– вероятность отказа обслуживания заявки ();

k );

– среднее число заявок в очереди ();

СМО делят на 2 основных типа: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (например, заявка на телефонный разговор в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает СМО не обслуженной). В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.

Одним из методов расчета показателей эффективности СМО является метод имитационного моделирования. Практическое использование компьютерного имитационного моделирования предполагает построение соответствующей математической модели, учитывающей факторы неопределенности, динамические характеристики и весь комплекс взаимосвязей между элементами изучаемой системы. Имитационное моделирование работы системы начинается с некоторого конкретного начального состояния. Вследствие реализации различных событий случайного характера, модель системы переходит в последующие моменты времени в другие свои возможные состояния. Этот эволюционный процесс продолжается до конечного момента планового периода, т.е. до конечного момента моделирования.

1. Основные характеристики CМОи показатели их эффективности

1.1 Понятие марковского случайного процесса

Пусть имеется некоторая система, которая с течением времени изменяет свое состояние случайным образом. В этом случае говорят, что в системе протекает случайный процесс.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его состояния можно заранее перечислить и переход системы из одного состояния в другое происходит скачком. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние происходят мгновенно.

Процесс работы СМО – это случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Случайный процесс называют марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

При анализе процессов работы СМО удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний . Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками, а возможные переходы из состояния в состояние – стрелками. Пример графа состояний приведен на рис. 1.

Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.

Поток характеризуется интенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: .

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый участок времени двух и более событий мала по сравнению с вероятностью попадания одного события, т.е., если события появляются в нем поодиночке, а не группами.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени и число событий, попадающих на одно из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия.

1.2 Уравнения Колмогорова

Все переходы в системе из состояния в состояние происходят под некоторым потоком событий. Пусть система находится в некотором состоянии , из которого возможен переход в состояние , тогда можно считать, что на систему воздействует простейший поток с интенсивностью , переводящий ее из состояния в . Как только появляется первое событие потока, происходит ее переход . Для наглядности на графе состояний у каждой стрелки, соответствующей переходу, указывается интенсивность . Такой размеченный граф состояний позволяет построить математическую модель процесса, т.е. найти вероятности всех состояний как функции времени. Для них составляются дифференциальные уравнения, называемые уравнениями Колмогорова.

Правило составлений уравнений Колмогорова: В левой части каждого из уравнений стоит производная по времени от вероятности данного состояния. В правой части стоит сумма произведений всех состояний, из которых возможен переход в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного состояния.

Например, для графа состояний, приведенного на рис. 1, уравнения Колмогорова имеют вид:

Т.к. в правой части системы каждое слагаемое входит 1 раз со знаком и 1 раз со знаком , то, складывая все уравнений, получим, что

,

,

Следовательно, одно из уравнений системы можно отбросить и заменить уравнением (1.2.1).

Чтобы получить конкретное решение надо знать начальные условия, т.е. значения вероятностей в начальный момент времени.

1.3 Финальные вероятности и граф состояний СМО

При достаточно большом времени протекания процессов в системе (при ) могут устанавливаться вероятности состояний, не зависящие от времени, которые называются финальными вероятностями, т.е. в системе устанавливается стационарный режим. Если число состояний системы конечно, и из каждого из них за конечное число шагов м. перейти в любое другое состояние, то финальные вероятности существуют, т.е.

Смысл финальных вероятностей состоит в том, что они равны среднему относительному времени нахождения системы в данном состоянии.

Т.к. в стационарном состоянии производные по времени равны нулю, то уравнения для финальных вероятностей получаются из уравнений Колмогорова путем приравнивания нулю их правых частей.

Графы состояний, используемые в моделях систем массового обслуживания, называются схемой гибели и размножения. Такое название обусловлено тем, что эта схема используется в биологических задачах, связанных с изучением численности популяции. Его особенность состоит в том, что все состояния системы можно представить в виде цепочки, в которой каждое из состояний связано с предыдущим и последующим (рис 2).

Рис. 2. Граф состояний в моделях СМО

Предположим, что все потоки, переводящие систему из одного состояния в другое, простейшие. По графу, представленному на рис. 2, составим уравнения для финальных вероятностей системы. Они имеют вид:

Получается система из ( n +1) уравнения, которая решается методом исключения. Этот метод заключается в том, что последовательно все вероятности системы выражаются через вероятность .

,

.

Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы, находим , затем находим остальные вероятности состояний СМО.

1.4 Показатели эффективности СМО

Цель моделирования СМО состоит в том, чтобы рассчитать показатели эффективности системы через ее характеристики. В качестве показателей эффективности СМО используются:

– абсолютная пропускная способность системы (А ), т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

– относительная пропускная способность (Q ), т.е. средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой;

– вероятность отказа (), т.е. вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной;

– среднее число занятых каналов (k );

– среднее число заявок в СМО ();

– среднее время пребывания заявки в системе ();

– среднее число заявок в очереди () – длина очереди;

– среднее число заявок в системе ();

– среднее время пребывания заявки в очереди ();

– среднее время пребывания заявки в системе ()

– степень загрузки канала (), т.е. вероятность того, что канал занят;

– среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

– среднее время ожидания обслуживания;

– вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п.

Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания, среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.

(1.4.1)

Формулы (1.4.1) и (1.4.2) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее, т.е. оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность .

Формулы для вычисления показателей эффективности приведены в таб. 1.

Таблица 1.

Показатели	Одноканальная СМО с ограниченной очередью	Многоканальная СМО с ограниченной очередью
Финальные вероятности
Вероятность
Абсолютная пропускная способность
Относительная пропускная способность
Среднее число заявок в
Среднее число заявок под обслуживанием
Среднее число заявок в системе

1.5 Основные понятия имитационного моделирования

Основная цель имитационного моделирования заключается в воспроизведении поведения изучаемой системы на основе анализа наиболее существенных взаимосвязей ее элементов.

Компьютерное имитационное моделирование следует рассматривать как статический эксперимент.

Из теории функций случайных величин известно, что для моделирования случайной величины с любой непрерывной и монотонно возрастающей функцией распределения достаточно уметь моделировать случайную величину , равномерно распределенную на отрезке . Получив реализацию случайной величины , можно найти соответствующую ей реализацию случайной величины , так как они связаны равенством

Предположим, что в некоторой системе массового обслуживания время обслуживания одной заявки распределено по экспоненциальному закону с параметром , где – интенсивность потока обслуживания. Тогда функция распределения времени обслуживания имеет вид

Пусть - реализация случайной величины , равномерно распределенной на отрезке , а – соответствующая ей реализация случайного времени обслуживания одной заявки. Тогда, согласно (1.5.1)

1.6 Построение имитационных моделей

Первый этап создания любой имитационной модели – этап описания реально существующей системы в терминах характеристик основных событий. Эти события, как правило, связаны с переходами изучаемой системы из одного возможного состояния в другое и обозначаются как точки на временной оси. Для достижения основной цели моделирования достаточно наблюдать систему в моменты реализации основных событий.

Рассмотрим пример одноканальной системы массового обслуживания. Целью имитационного моделирования подобной системы является определение оценок ее основных характеристик, таких, как среднее время пребывания заявки в очереди, средняя длина очереди и доля времени простоя системы.

Характеристики самого процесса массового обслуживания могут изменять свои значения либо в момент поступления новой заявки на обслуживание, либо при завершении обслуживания очередной заявки. К обслуживанию очередной заявки СМО может приступить немедленно (канал обслуживания свободен), но не исключена необходимость ожидания, когда заявке придется занять место в очереди (СМО с очередью, канал обслуживания занят). После завершения обслуживания очередной заявки СМО может сразу приступить к обслуживанию следующей заявки, если она есть, но может и простаивать, если таковая отсутствует. Необходимую информацию можно получить, наблюдая различные ситуации, возникающие при реализациях основных событий. Так, при поступлении заявки в СМО с очередью при занятом канале обслуживания длина очереди увеличивается на 1. Аналогично длина очереди уменьшается на 1, если завершено обслуживание очередной заявки и множество заявок в очереди не пусто.

Для эксплуатации любой имитационной модели необходимо выбрать единицу времени. В зависимости от природы моделируемой системы такой единицей может быть микросекунда, час, год и т.д.

Так как по своей сути компьютерное имитационное моделирование представляет собой вычислительный эксперимент, то его наблюдаемые результаты в совокупности должны обладать свойствами реализации случайной выборки. Лишь в этом случае будет обеспечена корректная статистическая интерпретация моделируемой системы.

При компьютерном имитационном моделировании основной интерес представляют наблюдения, полученные после достижения изучаемой системой стационарного режима функционирования, так как в этом случае резко уменьшается выборочная дисперсия.

Время, необходимое для достижения системой стационарного режима функционирования, определяется значениями ее параметров и начальным состоянием.

Поскольку основной целью является получение данных наблюдений с возможно меньшей ошибкой, то для достижения этой цели можно:

1) увеличить длительность времени имитационного моделирования процесса функционирования изучаемой системы. В этом случае не только увеличивается вероятность достижения системой стационарного режима функционирования, но и возрастает число используемых псевдослучайных чисел, что также положительно влияет на качество получаемых результатов.

2) при фиксированной длительности времени Т имитационного моделирования провести N вычислительных экспериментов, называемых еще прогонами модели, с различными наборами псевдослучайных чисел, каждый из которых дает одно наблюдение. Все прогоны начинаются при одном и том же начальном состоянии моделируемой системы, но с использованием различных наборов псевдослучайных чисел. Преимуществом этого метода является независимость получаемых наблюдений , показателей эффективности системы. Если число N модели достаточно велико, то границы симметричного доверительного интервала для параметра определяются следующим образом:

, , т.е. , где

Исправленная дисперсия, ,

N – число прогонов программы, – надежность, .

2. Аналитическое моделирование СМО

2.1 Граф состояний системы и уравнения Колмогорова

Рассмотрим двухканальную систему массового обслуживания (n = 2) с ограниченной очередью равной шести (m = 4). В СМО поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью λ = 4,8 и показательным законом распределения времени между поступлением заявок. Поток обслуживаемых в системе заявок является простейшим со средней интенсивностью μ = 2 и показательным законом распределения временем обслуживания.

Данная система имеет 7 состояний, обозначим их:

S 0 – система свободная, нет заявок;

S 1 – 1 заявка на обслуживании, очередь пуста;

S 2 – 2 заявки на обслуживании, очередь пуста;

S 3 – 2 заявки на обслуживании, 1 заявка в очереди;

S 4 – 2 заявки на обслуживании, 2 заявки в очереди;

S 5 – 2 заявки на обслуживании, 3 заявки в очереди;

S 6 – 2 заявки на обслуживании, 4 заявки в очереди;

Вероятности прихода системы в состояния S 0 , S 1 , S 2 , …, S 6 соответственно равны Р 0 , Р 1 , Р 2 , …, Р 6 .

Граф состояний системы массового обслуживания представляет собой схему гибели и размножения. Все состояния системы можно представить в виде цепочки, в которой каждое из состояний связано с предыдущим и последующим.

Рис. 3. Граф состояний двухканальной СМО

Для построенного графа запишем уравнения Колмогорова:

Чтобы решить данную систему зададим начальные условия:

Систему уравнений Колмогорова (систему дифференциальных уравнений) решим численным методом Эйлера с помощью программного пакета Maple 11 (см. Приложение 1).

Метод Эйлера

где- в нашем случае, это правые части уравнений Колмогорова, n=6.

Выберем шаг по времени . Предположим , где Т – это время, за которое система выходит на стационарный режим. Отсюда получаем число шагов . Последовательно N раз вычисляя по формуле (1) получим зависимости вероятностей состояний системы от времени, приведенной на рис. 4.

Значения вероятностей СМО при равны:

Рис. 4. Зависимости вероятностей состояний системы от времени

При достаточно большом времени протекания процессов в системе () могут устанавливаться вероятности состояний, не зависящие от времени, которые называются финальными вероятностями, т.е. в системе устанавливается стационарный режим. Если число состояний системы конечно, и из каждого из них за конечное число шагов можно перейти в любое другое состояние, то финальные вероятности существуют, т.е.

Т.к. в стационарном состоянии производные по времени равны 0, то уравнения для финальных вероятностей получаются из уравнений Колмогорова путем приравнивания правых частей 0. Запишем уравнения для финальных вероятностей для нашей СМО.

Решим данную систему линейных уравнений с помощью программного пакета Maple 11 (см. Приложение 1).

Получим финальные вероятности системы:

Сравнение вероятностей, полученных из системы уравнений Колмогорова при , с финальными вероятностями показывает, что ошибки равны:

Т.е. достаточно малы. Это подтверждает правильность полученных результатов.

2.3 Расчет показатели эффективности системы по финальным вероятностям

Найдем показатели эффективности системы массового обслуживания.

Сначала вычислим приведенную интенсивность потока заявок:

1) Вероятность отказав обслуживании заявки, т.е. вероятность того, что заявка покидает систему не обслуженной.В нашем случае заявке отказывается в обслуживании, если все 2 канала заняты, и очередь максимально заполнена (т.е. 4 человек в очереди), это соответствует состоянию системы S 6 . Т.к. вероятность прихода системы в состояние S 6 равна Р 6 , то

4) Средняя длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди, равна сумме произведений числа заявок в очереди на вероятность соответствующего состояния.

5) Среднее время пребывания заявки в очередиопределяется формулой Литтла:

3. Имитационное моделирование СМО

3.1 Алгоритм метода имитационного моделирования СМО (пошаговый подход)

Рассмотрим двухканальную систему массового обслуживания (n = 2) с максимальной длиной очереди равной шести (m = 4). В СМО поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью λ = 4,8 и показательным законом распределения времени между поступлением заявок. Поток обслуживаемых в системе заявок является простейшим со средней интенсивностью μ = 2 и показательным законом распределения временем обслуживания.

Для имитации СМО воспользуемся одним из методов статистического моделирования – имитационным моделированием. Будем использовать пошаговый подход. Суть этого подхода в том, что состояния системы рассматриваются в последующие моменты времени, шаг между которыми является достаточно малым, чтобы за его время произошло не более одного события.

Выберем шаг по времени (). Он должен быть много меньше среднего времени поступления заявки () и среднего времени ее обслуживания (), т.е.

Где (3.1.1)

Исходя из условия (3.1.1) определим шаг по времени .

Время поступления заявки в СМО и время ее обслуживания являются случайными величинами. Поэтому, при имитационном моделировании СМО их вычисление производится с помощью случайных чисел.

Рассмотрим поступление заявки в СМО. Вероятность того, что на интервале в СМО поступит заявка, равна: . Сгенерируем случайное число , и, если , то будем считать, что заявка на данном шаге в систему поступила, если , то не поступила.

В программе это осуществляет isRequested () . Интервал времени примем постоянным и равным 0,0001, тогда отношение будет равно 10000. Если заявка поступила, то она принимает значение «истина», в противном случае значение «ложь».

bool isRequested()

double r = R. NextDouble();

if (r < (timeStep * lambda))

Рассмотрим теперь обслуживание заявки в СМО. Время обслуживания заявки в системе определяется выражением , где – случайное число. В программе время обслуживания определяется с помощью функции GetServiceTime () .

double GetServiceTime()

double r = R. NextDouble();

return (-1/mu*Math. Log (1-r, Math.E));

Алгоритм метода имитационного моделирования можно сформулировать следующим образом. Время работы СМО (Т ) разбивается на шаги по времени dt , на каждом из них выполняется ряд действий. Вначале определяются состояния системы (занятость каналов, длина очереди), затем, с помощью функции isRequested () , определяется, поступила ли на данном шаге заявка или нет.

Если поступила, и, при этом имеются свободные каналы, то с помощью функции GetServiceTime () генерируем время обработки заявки и ставим ее на обслуживание. Если все каналы заняты, а длина очереди меньше 4, то помещаем заявку в очередь, если же длина очереди равна 4, то заявке будет отказано в обслуживании.

В случае, когда на данном шаге заявка не поступала, а канал обслуживания освободился, проверяем, есть ли очередь. Если есть, то из очереди заявку ставим на обслуживание в свободный канал. После проделанных операций время обслуживания для занятых каналов уменьшаем на величину шага dt .

По истечении времени Т , т.е., после моделирования работы СМО, вычисляются показатели эффективности работы системы и результаты выводятся на экран.

3.2 Блок-схема программы

Блок-схема программы, реализующей описанный алгоритм, приведена на рис. 5.

Рис. 5. Блок-схема программы

Распишем некоторые блоки более подробно.

Блок 1. Задание начальных значений параметров.

Random R; // Генератор случайных чисел

public uint maxQueueLength; // Максимальная длина очереди

public uint channelCount; // Число каналов в системе

public double lambda; // Интенсивность потока поступления заявок

public double mu; // Интенсивность потока обслуживания заявок

public double timeStep; // Шагповремени

public double timeOfFinishProcessingReq; // Время окончания обслуживания заявки во всех каналах

public double timeInQueue; // Время пребывания СМО в состояниях с очередью

public double processingTime; // Времяработысистемы

public double totalProcessingTime; // Суммарноевремяобслуживаниязаявок

public uint requestEntryCount; // Числопоступившихзаявок

public uint declinedRequestCount; // Числоотказанныхзаявок

public uint acceptedRequestCount; // Числообслуженныхзаявок

uint queueLength; // Длина очереди //

Тип, описывающий состояния СМО

enum SysCondition {S0, S1, S2, S3, S4, S5, S6};

SysCondition currentSystemCondition; // Текущее состояние системы

Задание состояний системы. Выделим у данной 2-х канальной системы 7 различных состояний: S 0 , S 1 . S 6 . СМО находится в состоянии S 0 , когда система свободна; S 1 – хотя бы один канал свободен; в состоянии S 2 , когда все каналы заняты, и есть место в очереди; в состоянии S 6 – все каналы заняты, и очередь достигла максимальной длины (queueLength = 4).

Определяем текущее состояние системы с помощью функции GetCondition()

SysCondition GetCondition()

SysCondition p_currentCondit = SysCondition.S0;

int busyChannelCount = 0;

for (int i = 0; i < channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq[i] > 0)

busyChannelCount++;

p_currentCondit += k * (i + 1);

if (busyChannelCount > 1)

{p_currentCondit ++;}

return p_currentCondit + (int) QueueLength;

Изменение времени пребывания СМО в состояниях с длиной очереди 1, 2,3,4. Это реализуется следующим программным кодом:

if (queueLength > 0)

timeInQueue += timeStep;

if (queueLength > 1)

{timeInQueue += timeStep;}

Присутствует такая операция, как помещение заявки на обслуживание в свободный канал. Просматриваются, начиная с первого, все каналы, когда выполняется условие timeOfFinishProcessingReq [ i ] <= 0 (канал свободен), в него подается заявка, т.е. генерируется время окончания обслуживания заявки.

for (int i = 0; i < channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq [i] <= 0)

timeOfFinishProcessingReq [i] = GetServiceTime();

totalProcessingTime+= timeOfFinishProcessingReq [i];

Обслуживаниезаявоквканалахмоделируетсякодом:

for (int i = 0; i < channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq [i] > 0)

timeOfFinishProcessingReq [i] -= timeStep;

Алгоритм метода имитационного моделирования реализован на языке программирования C#.

3.3 Расчет показателей эффективности СМО на основе результатов ее имитационного моделирования

Наиболее важными являются такие показатели, как:

1) Вероятность отказа в обслуживании заявки, т.е. вероятность того, что заявка покидает систему не обслуженной.В нашем случае заявке отказывается в обслуживании, если все 2 канала заняты, и очередь максимально заполнена (т.е. 4 человек в очереди). Для нахождения вероятности отказа разделим время пребывания СМО в состоянии с очередью 4 на общее время работы системы.

2) Относительная пропускная способность – это средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой.

3) Абсолютная пропускная способность– это среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени.

4) Длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди. Длина очереди равна сумме произведений числа человек в очереди на вероятность соответствующего состояния. Вероятности состояний найдем как отношение времени нахождения СМО в этом состоянии к общему времени работы системы.

5) Среднее время пребывания заявки в очереди определяется формулой Литтла

6) Среднее число занятых каналовопределяется следующим образом:

7) Процент заявок, которым было отказано в обслуживании, находится по формуле

8) Процент обслуженных заявок находится по формуле

3.4 Статистическая обработка результатов и их сравнение с результатами аналитического моделирования

Т.к. показатели эффективности получаются в результате моделирования СМО в течение конечного времени, они содержат случайную компоненту. Поэтому, для получения более надежных результатов нужно провести их статистическую обработку. С этой целью оценим доверительный интервал для них по результатам 20 прогонов программы.

Величина попадает в доверительный интервал, если выполняется неравенство

, где

математическое ожидание (среднее значение), находится по формуле

Исправленная дисперсия,

,

N =20 – число прогонов,

– надежность. При и N =20 .

Результат работы программы представлен на рис. 6.

Рис. 6. Вид программы

Для удобства сравнения результатов, полученных различными методами моделирования, представим их в виде таблицы.

Таблица 2.

Из табл. 2 видно, что результаты, полученные при аналитическом моделировании СМО, попадают в доверительный интервал, полученный по результатам имитационного моделирования. Т.е., результаты, полученные разными методами, согласуются.

Заключение

В данной работе рассмотрены основные методы моделирования СМО и расчета показателей их эффективности.

Проведено моделирование двухканальной СМО с максимальной длиной очереди равной 4 с помощью уравнений Колмогорова, а также, найдены финальные вероятности состояний системы. Рассчитаны показатели ее эффективности.

Проведено имитационное моделирование работы такой СМО. На языке программирования C# составлена программа, имитирующая ее работу. Проведена серия расчетов, по результатам которых найдены значения показателей эффективности системы и выполнена их статистическая обработка.

Полученные при имитационном моделировании результаты согласуются с результатами аналитического моделирования.

Литература

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Дрофа, 2004. – 208 с.

2. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. – М.: Изд.-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 435 с.

3. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. – М.: Изд.-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 447 с.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979. – 400 с.

5. Ивницкий В.Л. Теория сетей массового обслуживания. – М.: Физматлит, 2004. – 772 с.

6. Исследование операций в экономике/ под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнити, 2004. – 407 с.

7. Таха Х.А. Введение в исследование операций. – М.: ИД «Вильямс», 2005. – 902 с.

8. Харин Ю.С., Малюгин В.И., Кирлица В.П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования. – Минск: Дизайн ПРО, 1997. – 288 с.

4. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

4.1. Классификация систем массового обслуживания и их показатели эффективности

Системы, в которых в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства для обслуживания этих заявок, называются системами массового обслуживания (СМО).

СМО могут быть классифицированы по признаку организации обслуживания следующим образом:

Системы с отказами не имеют очередей.

Системы с ожиданием имеют очереди.

Заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты:

Покидает систему с отказами;

Становится в очередь на обслуживание в системах с ожиданием при неограниченной очереди или на свободное место при ограниченной очереди;

Покидает систему с ожиданием при ограниченной очереди, если в этой очереди нет свободного места.

В качестве меры эффективности экономической СМО рассматривают сумму потерь времени:

На ожидание в очереди;

На простои каналов обслуживания.

Для всех видов СМО используются следующие показатели эффективности :

- относительная пропускная способность - это средняя доля поступающих заявок, обслуживаемых системой;

- абсолютная пропускная способность - это среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;

- вероятность отказа - это вероятность того, что заявка покинет систему без обслуживания;

- среднее число занятых каналов - для многоканальных СМО.

Показатели эффективности СМО рассчитываются по формулам из специальных справочников (таблиц). Исходными данными для таких расчетов являются результаты моделирования СМО.

4.2. Моделирование системы массового обслуживания:

основ­ные параметры, граф состояний

При всем многообразии СМО они имеют общие черты , которые позволяют унифицировать их моделирование для нахождения наиболее эффективных вариантов организации таких систем .

Для моделирования СМО необходимо иметь следующие исходные данные:

Основные параметры;

Граф состояний.

Результатами моделирования СМО являются вероятности ее состояний, через которые выражаются все показатели ее эффективности.

Основные параметры для моделирования СМО включают:

Характеристики входящего потока заявок на обслуживание;

Характеристики механизма обслуживания.

Рассмотрим характеристики потока заявок .

Поток заявок - последовательность заявок, поступающих на обслуживание.

Интенсивность потока заявок - среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.

Потоки заявок бывают простейшими и отличными от простейших.

Для простейших потоков заявок используются модели СМО.

Простейшим , или пуассоновским называется поток, являющийся стационарным , одинарным и в нем отсутствуют последействия .

Стационарность означает неизменность интенсивности поступления заявок с течением времени.

Одинарным поток заявок является в том случае, когда за малый промежуток времени вероятность поступления более чем одной заявки близка к нулю.

Отсутствие последействия заключается в том, что число заявок, поступивших в СМО за один интервал времени, не влияет на количество заявок, полученных за другой интервал времени.

Для отличных от простейших потоков заявок используются имитационные модели.

Рассмотрим характеристики механизма обслуживания .

Механизм обслуживания характеризуется:

- числом каналов обслуживания ;

Производительностью канала, или интенсивностью обслуживания - средним числом заявок, обслуживаемых одним каналом в единицу времени;

Дисциплиной очереди (например, объемом очереди , порядком отбора из очереди в механизм обслуживания и т. п.).

Граф состояний описывает функционирование системы обслуживания как переходы из одного состояния в другое под действием потока заявок и их обслуживания.

Для построения графа состояний СМО необходимо:

Составить перечень всех возможных состояний СМО;

Представить перечисленные состояния графически и отобразить возможные переходы между ними стрелками;

Взвесить отображенные стрелки, т. е. приписать им числовые значения интенсивностей переходов, определяемые интенсивностью потока заявок и интенсивностью их обслуживания.

4.3. Вычисление вероятностей состояний

системы массового обслуживания

Граф состояний СМО со схемой "гибели и рождения" представляет собой линейную цепочку, где каждое из средних состояний имеет прямую и обратную связь с каждым из соседних состояний, а крайние состояния только с одним соседним:

Число состояний в графе на единицу больше, чем суммарное число каналов обслуживания и мест в очереди.

СМО может быть в любом из своих возможных состояний, поэтому ожидаемая интенсивность выхода из какого-либо состояния равна ожидаемой интенсивности входа системы в это состояние. Отсюда система уравнений для определения вероятностей состояний при простейших потоках будет иметь вид:

где - вероятность того, что система находится в состоянии

- интенсивность перехода, или среднее число переходов системы в единицу времени из состояния в состояние .

Используя эту систему уравнений, а также уравнение

вероятность любого -ого состояния можно вычислить по следующему общему правилу :

вероятность нулевого состояния рассчитывается как

а затем берется дробь, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей потоков по стрелкам, ведущим слева направо от состояния до состояния а в знаменателе - произведение всех интенсивностей по стрелкам, идущим справа налево от состояния до состояния , и эта дробь умножается на рассчитанную вероятность

Выводы по четвертому разделу

Системы массового обслуживания имеют один или несколько каналов обслуживания и могут иметь ограниченную или неограниченную очередь (системы с ожиданием) заявок на обслуживание, не иметь очереди (системы с отказами). Заявки на обслуживание возникают в случайные моменты времени. Системы массового обслуживания характеризуются следующими показателями эффективности: относительная пропускная способность, абсолютная пропускная способность, вероятность отказа, среднее число занятых каналов.

Моделирование систем массового обслуживания осуществляется для нахождения наиболее эффективных вариантов их организации и предполагает следующие исходные данные для этого: основные параметры, граф состояний. К таким данным относятся следующие: интенсивность потока заявок, количество каналов обслуживания, интенсивность обслуживания и объем очереди. Число состояний в графе на единицу больше, чем сумма числа каналов обслуживания и мест в очереди.

Вычисление вероятностей состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения» осуществляется по общему правилу.

Вопросы для самопроверки

Какие системы называются системами массового обслуживания?

Как классифицируются системы массового обслуживания по признаку их организации?

Какие системы массового обслуживания называются системами с отказами, а какие – с ожиданием?

Что происходит с заявкой, поступившей в момент времени, когда все каналы обслуживания заняты?

Что рассматривают в качестве меры эффективности экономической системы массового обслуживания?

Какие используются показатели эффективности системы массового обслуживания?

Что служит исходными данными для расчетов показателей эффективности систем массового обслуживания?

Какие исходные данные необходимы для моделирования систем массового обслуживания?

Через какие результаты моделирования системы массового обслуживания выражают все показатели ее эффективности?

Что включают основные параметры для моделирования систем массового обслуживания?

Чем характеризуются потоки заявок на обслуживание?

Чем характеризуются механизмы обслуживания?

Что описывает граф состояний системы массового обслуживания

Что необходимо для построения графа состояний системы массового обслуживания?

Что представляет собой граф состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения»?

Чему равно число состояний в графе состояний системы массового обслуживания?

Какой вид имеет система уравнений для определения вероятностей состояний системы массового обслуживания?

По какому общему правилу вычисляется вероятность любого состояния системы массового обслуживания?

Примеры решения задач

1. Построить граф состояний системы массового обслуживания и привести основные зависимости ее показателей эффективности.

а) n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

Основные параметры:

Каналов ,

Интенсивность потока ,

Интенсивность обслуживания .

Возможные состояния системы:

Все каналов заняты ( заявок в системе).

Граф состояний:

Относительная пропускная способность ,

Вероятность отказа ,

Среднее число занятых каналов .

б) n-канальная СМО с m-ограниченной очередью

Возможные состояния системы:

Все каналы свободны (ноль заявок в системе);

Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);

Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);

...................................................................................

Все каналы заняты, две заявки в очереди;

Все каналы заняты, заявок в очереди.

Граф состояний:

в) Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Возможные состояния системы:

Все каналы свободны (ноль заявок в системе);

Канал занят, ноль заявок в очереди;

Канал занят, одна заявка в очереди;

...................................................................................

Канал занят, заявка в очереди;

....................................................................................

Граф состояний:

Показатели эффективности системы:

,

Среднее время пребывания заявки в системе ,

,

,

Абсолютная пропускная способность ,

Относительная пропускная способность .

г) n-канальная СМО с неограниченной очередью

Возможные состояния системы:

Все каналы свободны (ноль заявок в системе);

Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);

Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);

...................................................................................

Все каналов заняты ( заявок в системе), ноль заявок в очереди;

Все каналы заняты, одна заявка в очереди;

....................................................................................

Все каналы заняты, заявок в очереди;

....................................................................................

Граф состояний:

Показатели эффективности системы:

Среднее число занятых каналов ,

Среднее число заявок в системе ,

Среднее число заявок в очереди ,

Среднее время пребывания заявки в очереди .

2. Вычислительный центр имеет три ЭВМ. В центр поступает на решение в среднем четыре задачи в час. Среднее время решения одной задачи - полчаса. Вычислительный центр принимает и ставит в очередь на решение не более трех задач. Необходимо оценить эффективность центра.

РЕШЕНИЕ. Из условия ясно, что имеем многоканальную СМО с ограниченной очередью:

Число каналов ;

Интенсивность потока заявок (задача / час);

Время обслуживания одной заявки (час / задача), интенсивность обслуживания (задача / час);

Длина очереди .

Перечень возможных состояний:

Заявок нет, все каналы свободны;

Один канал занят, два свободны;

Два канала заняты, один свободен;

Три канала заняты;

Три канала заняты, одна заявка в очереди;

Три канала заняты, две заявки в очереди;

Три канала заняты, три заявки в очереди.

Граф состояний:

Рассчитаем вероятность состояния :

Показатели эффективности:

Вероятность отказа (все три ЭВМ заняты и три заявки стоят в очереди)

Относительная пропускная способность

Абсолютная пропускная способность

Среднее число занятых ЭВМ

3. (Задача с использованием СМО с отказами.) В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты обслуживанием ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение часа, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, деталь пройдет ОТК необслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы (* - заданное значение ).

РЕШЕНИЕ. По условию задачи , тогда .

1) Вероятность простоя каналов обслуживания:

,

3) Вероятность обслуживания:

4) Среднее число занятых обслуживанием каналов:

.

5) Доля каналов, занятых обслуживанием:

6) Абсолютная пропускная способность:

При . Произведя аналогичные расчеты для , получим

Так как , то произведя расчеты для , получим

ОТВЕТ. Вероятность того, что при деталь пройдет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%.

Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти контролеров.

4. (Задача с использованием СМО с неограниченным ожиданием.) Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров () для обслуживания вкладчиков . Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного вкладчика мин.

Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.

РЕШЕНИЕ. Интенсивность потока обслуживания , интенсивность нагрузки .

1) Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня (см. предыдущую задачу №3):

.

2) Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:

.

3) Вероятность очереди:

.

4) Среднее число заявок в очереди:

.

5) Среднее время ожидания заявки в очереди:

мин.

6) Среднее время пребывания заявки в СМО:

7) Среднее число свободных каналов:

.

8) Коэффициент занятости каналов обслуживания:

.

9) Среднее число посетителей в сберкассе:

ОТВЕТ. Вероятность простоя контролеров-кассиров равна 21% рабочего времени , вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями обслуживания 0,472 мин.

5. (Задача с применением СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.) Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью машин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомашинами (). В магазине работают три фасовщика (), каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч.

Определить, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была .

РЕШЕНИЕ. Определим интенсивность загрузки фасовщиков:

Авт./дн.

1) Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин (заявок):

причем 0!=1,0.

2) Вероятность отказа в обслуживании:

.

3) Вероятность обслуживания:

Так как , произведем аналогичные вычисления для , получим), при этом вероятность полной обработки товара будет .

Задания для самостоятельной работы

Для каждой из следующих ситуаций определить:

a) к какому классу относится объект СМО;

b) число каналов ;

c) длину очереди ;

d)интенсивность потока заявок ;

e) интенсивность обслуживания одним каналом;

f) количество всех состояний объекта СМО.

В ответах указать значения по каждому пункту, используя следующие сокращения и размерности:

a) ОО – одноканальная с отказами; МО – многоканальная с отказами; ОЖО – одноканальная с ожиданием с ограниченной очередью; ОЖН - одноканальная с ожиданием с неограниченной очередью; МЖО – многоканальная с ожиданием с ограниченной очередью; МЖН - многоканальная с ожиданием с неограниченной очередью;

b) =… (единиц);

c) =… (единиц);

d) =ххх/ххх (единиц /мин);

e) =ххх/ххх (единиц /мин);

f) (единиц).

1. Дежурный по администрации города имеет пять телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.

2. На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается.

3. АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин. На станцию поступает в среднем 10 вызовов в сек.

4. В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 ч. Краны работают круглосуточно. Ожидающие обслуживания сухогрузы стоят на рейде.

5. В службе «Скорой помощи» поселка круглосуточно дежурят 3 диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составляет 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 мин.

6. Салон-парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий поток посетителей имеет интенсивность 5 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 40 мин. Длина очереди на обслуживание считается неограниченной.

7. На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем одна машина в 3 мин. Среднее время обслуживания одной машины составляет 2 мин.

8. На вокзале в мастерской бытового обслуживания работают три мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 ч, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин.

9. АТС поселка обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Время переговоров в среднем составляет около 3 мин. Вызовы на станцию поступают в среднем через 2 мин.

10. На автозаправочной станции (АЗС) имеются 3 колонки. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более одной машины, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю станцию. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин.

11. В небольшом магазине покупателей обслуживают два продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя – 4 мин. Интенсивность потока покупателей – 3 человека в минуту. Вместимость магазина такова, что одновременно в нем в очереди могут находиться не более 5 человек. Покупатель, пришедший в переполненный магазин, когда в очереди уже стоят 5 человек, не ждет снаружи и уходит.

12. Железнодорожную станцию дачного поселка обслуживает касса с двумя окнами. В выходные дни, когда население активно пользуется железной дорогой, интенсивность потока пассажиров составляет 0,9 чел./мин. Кассир затрачивает на обслуживание пассажира в среднем 2 мин.

Для каждой из указанных в вариантах СМО интенсивность потока заявок равна и интенсивность обслуживания одним каналом . Требуется:

Составить перечень возможных состояний;

Построить граф состояний по схеме "гибели и размножения".

В ответе указать для каждой задачи:

Количество состояний системы;

Интенсивность перехода из последнего состояния в предпоследнее.

Вариант № 1

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 1 заявку

2. 2-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 31-канальная СМО с 1-ограниченной очередью

5. 31-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 2

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 2 заявки

2. 3-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 30-канальная СМО с 2-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 30-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 3

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 3 заявки

2. 4-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 29-канальная СМО с 3-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 29-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 4

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 4 заявки

2. 5-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 28-канальная СМО с 4-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 28-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 5

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 5 заявок

2. 6-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 27-канальная СМО с 5-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 27-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 6

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 6 заявок

2. 7-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 26-канальная СМО с 6-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 26-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 7

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 7 заявок

2. 8-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 25-канальная СМО с 7-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 25-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 8

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 8 заявок

2. 9-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 24-канальная СМО с 8-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 24-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 9

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 9 заявок

2. 10-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 23-канальная СМО с 9-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 23-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 10

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 10 заявок

2. 11-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 22-канальная СМО с 10-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 22-канальная СМО с неограниченной очередью

Система массового обслуживания состоит из следующих элементов (рисунок 5.6).

1 - входящий поток требований ω(t ) – совокупность требований к СМО на проведение определенных работ (заправка, мойка, ТО и др.) или оказание услуг (покупка изделий, деталей, материалов и др.). Входящий поток требований может быть постоянным и переменным.

Требования бывают однородные (одинаковые виды работ или услуг) и неоднородные (разные виды работ или услуг).

2 - очередь – требования, ожидающие обслуживания. Очередь оценивается средней длиной r – числом объектов или клиентов, ожидающих обслуживания.

Рисунок 5.6 – Общая схема системы массового обслуживания

3 - обслуживающие аппараты (каналы обслуживания) – совокупность рабочих мест, исполнителей, оборудования, осуществляющих обслуживание требований по определенной технологии.

4 - выходящий поток требований ω’(t ) – поток требований, прошедших СМО. В общем случае выходящий поток может состоять из требований обслуженных и необслуженных. Пример необслуженных требований: отсутствие нужной детали для автомобиля, находящегося в ремонте.

5- замыкание (возможное) СМО – состояние системы, при котором входящий поток требований зависит от выходящего.

На автомобильном транспорте после обслуживания требований (ТО, ремонт) автомобиль должен быть технически исправным.

Системы массового обслуживания классифицируются следующим образом.

1 По ограничениям на длину очереди:

СМО с потерями – требование покидает СМО необслуженным, если в момент его поступления все каналы заняты;

СМО без потерь – требование занимает очередь, даже если все каналы
заняты;

СМО с ограничениями по длине очереди m или времени ожидания: если существует ограничение на очередь, то вновь поступившее (m +1)-е требование выбывает из системы необслуженным (например, ограниченная емкость накопительной площадки перед АЗС).

2 По количеству каналов обслуживания п:

Одноканальные: n =1;

Многоканальные n ≥2.

3 По типу обслуживающих каналов:

Однотипные (универсальные);

Разнотипные (специализированные).

4 По порядку обслуживания:

Однофазовые – обслуживание производится на одном аппарате (посту);

Многофазовые – требования последовательно проходит несколько аппаратов обслуживания (например, поточные линии ТО; конвейерная сборка автомобиля; линия внешнего ухода: уборка → мойка → обсушка → полировка).

5 По приоритетности обслуживания:

Без приоритета – требования обслуживаются в порядке их поступления на СМО;

С приоритетом – требования обслуживаются в зависимости от присвоенного им при поступлении ранга приоритетности (например, заправка автомобилей скорой помощи на АЗС; первоочередной ремонт на АТП автомобилей, приносящих наибольшую прибыль на перевозках).

6 По величине входящего потока требований:

С неограниченным входящим потоком;

С ограниченным входящим потоком (например, в случае предварительной записи на определенные виды работ и услуг).

7 По структуре СМО:

Замкнутые – входящий поток требований при прочих равных условиях зависит от числа ранее обслуженных требований (комплексное АТП, обслуживающее только свои автомобили (5 на рисунке 5.6));

Открытые – входящий поток требований не зависит от числа ранее обслуженных: АЗС общего пользования, магазин по продаже запасных частей.

8 По взаимосвязи обслуживающих аппаратов:

С взаимопомощью – пропускная способность аппаратов непостоянна и зависит от занятости других аппаратов: бригадное обслуживание нескольких постов СТО; использование «скользящих» рабочих;

Без взаимопомощи – пропускная способность аппарата не зависит от работы других аппаратов СМО.

Применительно к технической эксплуатации автомобилей находят распространение замкнутые и открытые, одно- и многоканальные СМО, с однотипными или специализированными обслуживающими аппаратами, с одно- или многофазовым обслуживанием, без потерь или с ограничением на длину очереди или на время нахождения в ней.

В качестве показателей эффективности работы СМО используют приведенные ниже параметры.

Интенссивность обслуживания

где ω - параметр потока требований.

показывает количество требований, поступающих в единицу времени, т.е.

где g - .

Относителъная пропускная способность определяет долю обслуженных требований от общего их количества.

Вероятность того, что все посты свободны Р 0 , характеризует такое состояние системы, при котором все объекты исправны и не требуют проведения технических воздействий, т.е. требования отсутствуют.

Вероятность отказа в обслуживании Р отк имеет смысл для СМО с потерями и с ограничением по длине очереди или времени нахождения в ней. Она показывает долю «потерянных» для системы требований.

Р оч определяет такое состояние системы, при котором все обслуживающие аппараты заняты, и следующее требование «встает» в очередь с числом ожидающих требований r.

Зависимости для определения названных параметров функционирования СМО определяются ее структурой.

где n зан - .

Время связи требования с системой:

СМО с потерями

СМО без потерь

где С 1 - стоимость простоя автомобиля в очереди;

r - средняя длина очереди;

С 2 -стоимость простоя обслуживающего канала;

n сн - количество простаивающих (свободных) каналов;

t ож - среднее время нахождения в очереди.

Из-за случайности входящего потока требований и продолжительности их выполнения всегда имеется какое-то среднее число простаивающих автомобилей. Поэтому требуется так распределить число обслуживающих аппаратов (постов, рабочих мест, исполнителей) по различным подсистемам, чтобы И= min. Этот класс задач имеет дело с дискретным изменением параметров, так как число аппаратов может изменяться только дискретным образом. Поэтому при анализе системы обеспечения работоспособности автомобилей используются методы исследования операций, теории массового обслуживания, линейного, нелинейного и динамического программирования и имитационного моделирования.

Пример. Станция технического обслуживания имеет один пост диагностирования (п= 1). Длина очереди ограничена двумя автомобилями (т= 2). Определить параметры эффективности работы диагностического поста, если интенсивность потока требований на диагностирование в среднем А =2 треб./ч, продолжительность диагностирования t д = 0,4 ч.

Интенсивность диагностирования μ=1/0,4=2,5.

Приведенная плотность потока ρ=2/2,5=0,8.

Вероятность того, что пост свободен,

P 0 =(1-ρ)/(1-ρ m +2)=(1-0,8)/(1-0,8 4)=0,339.

Вероятность образования очереди

P оч =ρ 2 Р 0 =0,8 2 0,339=0,217.

Вероятность отказа в обслуживании

P отк =ρ m +1 (1-ρ)/(1-ρ m +2)=0,8 3 (1-0,8)/(1-0,84)=0,173.

Относительная пропускная способность

g =1-P отк =1-0,173=0,827.

Абсолютная пропускная способность

А =2 0,827=1,654 треб./ч.

Среднее количество занятых постов или вероятность загрузки поста

n зан =(ρ-ρ m +2)/(1-ρ m +2)=(0,8-0,8 4)/(1-0,8 4)=0,661=1-P 0 .

Среднее количество требовниий, находящихся вочереди,

Среднее время нахождения требования в очереди

t ож =r /ω=0,564/2=0,282 ч.

Пример. На автотранспортном предприятии имеется один пост диагностирования (п= 1). В данном случае длина очереди практически неограниченна. Определить параметры эффективности работы диагностического поста, если стоимость простоя автомобилей в очереди составляет С 1 = 20 ре (расчетных единиц) в смену, а стоимость простоя постов С 2 = 15 ре Остальные исходные данные те же, что и для предыдущего примера.

Вероятность того, что пост свободен

P 0 =1-ρ=1-0,8=0,2.

Вероятность образования очереди

P оч =ρ 2 Р 0 =0,8 2 0,2=0,128.

Относительная пропускная способность g =1, так как все намеченные автомобили пройдут через диагностический пост.

Абсолютная пропускная способность А =ω=2 треб./ч.

Среднее количество занятых постов n зан =ρ=0,8.

r =ρ 2 /(1-ρ)=0,8 2 /(1-0,8)=3,2.

Среднее время ожидания в очереди

t ож =ρ 2 /(1-ρ)/μ=0,8 2 /(1-0,8)/2,5=1,6.

Издержки от функционирования системы

И =С 1 r +С 2 n сн +(С 1 +C 2)ρ=20 3,2+15 0,2+(20+15) 0,8=95,0 ре/смену.

Пример. На том же автотранспортном предприятии число постов диагностирования увеличено до двух (n =2), т.е. создана многоканальная система. Так как для создания второго поста необходимы капиталовложения (площади, оборудование и т.д.), то цена простоя средств обслуживания увеличивается до С’ 1 =22 ре. Определить параметры эффективности работы системы диагностирования. Остальные исходные данные те же, что для предыдущего примера.

Интенсивность диагностирования и приведенная плотность потока остаются теми же: μ=2,5, ρ=0,8.

Вероятность того, что оба поста свободны,

Р 0 =1:
=0,294.

Вероятность образования очереди

P оч =ρ n Р 0 /n !=0,8 2 0,294/2=0,094,

т.е. на 37 % ниже, чем в предыдущем примере.

Относительная пропускная способность g =1, так как все автомобили пройдут через диагностические посты.

Абсолютная пропускная способность А =2 треб./ч.

Среднее количество занятых постов n зан =ρ=0,8.

Среднее количество требований, находящихся в очереди,

r =ρP оч /(n -ρ)=0,8 2 0,094/(2-0,8)=0,063.

Среднее время нахождения в очереди

t ож =P оч /(n -ρ)/μ=0,094/(2-0,8)/2,5=0,031.

Издержки от функционирования системы

И =С 1 r +С 2 n сн +(С 1 +C 2)ρ=20 0,063+22 1,2+(20+22) 0,8=61,26 ре/смену,

т.е. в 1,55 раза ниже, чем при тех же условиях для одного диагностического поста, главным образом за счет сокращения очереди автомобилей на диагностику и времени ожидания автомобилей более чем в 50 раз. Следовательно, строительство второго диагностического поста в рассматриваемых условиях целесообразно. Используя формулу (5.18) из условия И 1 =И 2 , можно оценить предельные значения цены простоя средств обслуживания при строительстве и оснащении второго диагностического поста, которая в рассмотренном примере составляет C 2 пр =39 ре.

1.1. Структура и параметры эффективности и качества функционирования СМО

Многие экономические задачи связаны с системами массового обслуживания, т.е. такими системами, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, с другой – происходит удовлетворение этих запросов. СМО включает в себя следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающие устройства (каналы обслуживания), выходящий поток требований. Исследованием таких систем занимается теория массового обслуживания.

Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся заправочные устройства на АЗС, каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, билетные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

Методами теории массового обслуживания могут быть решены многие задачи исследования процессов, происходящих в экономике. Так, в организации торговли эти методы позволяют определить оптимальное количество торговых точек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры. Другим характерным примером систем массового обслуживания могут служить заправочные станции, и задачи теории массового обслуживания в данном случае сводятся к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом поступающих на заправочную станцию требований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживания и убытки от простоя были бы минимальными. Теория массового обслуживания может найти применение и при расчете площади складских помещений, при этом складская площадь рассматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку – как требование. Модели теории массового обслуживания применяются также при решении ряда задач организации и нормирования труда, других социально-экономических проблем.

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, называемых каналами обслуживания (к их числу можно отнести лиц, выполняющих те или иные операции, - кассиров, операторов, менеджеров, и т.п.), обслуживающих некоторый поток заявок (требований), поступающих на ее вход в случайные моменты времени. Обслуживание заявок происходит за неизвестное, обычно случайное время и зависит от множества самых разнообразных факторов. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерности загрузки СМО - перегрузке с образованием очередей заявок или недогрузке - с простаиванием ее каналов. Случайность характера потока заявок и длительности их обслуживания порождает в СМО случайный процесс, для изучения которого необходимы построение и анализ его математической модели. Изучение функционирования СМО упрощается, если случайный процесс является марковским (процессом без последействия, или без памяти), когда работа СМО легко описывается с помощью конечных систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, а в предельном режиме (при достаточно длительном функционировании СМО) посредством конечных систем линейных алгебраических уравнений. В итоге показатели эффективности функционирования СМО выражаются через параметры СМО, потока заявок и дисциплины.

Из теории известно, чтобы случайный процесс являлся Марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий (потоки заявок, потоки обслуживаний заявок и др.), под воздействием которых происходят переходы системы из состояния в состояние, являлись пуассоновским, т.е. обладали свойствами последствия (для любых двух непересекающихся промежутков времени число событий, наступающих за один из них, не зависит от числа событий, наступающих за другой) и ординарности (вероятность наступления за элементарным, или малый, промежуток времени более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток времени одного события). Для простейшего пуассоновского потока случайная величина Т (промежуток времени между двумя соседними событиями) распределена по показательному закону, представляя собой плотность ее распределения или дифференциальную функцию распределения.

Если же в СМО характер потоков отличен от пуассоновского, то ее характеристики эффективности можно определить приближенно с помощью Марковской теории массового обслуживания, причем тем точнее, чем сложнее СМО, чем больше в ней каналов обслуживания. В большинстве случаев для обоснованных рекомендаций по практическому управлению СМО совсем не требует знаний точных ее характеристик, вполне достаточно иметь их приближенные значения.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров обладает определенной эффективностью функционирования.

Эффективность функционирования СМО характеризуют три основные группы показателей:

1. Эффективность использования СМО – абсолютная или относительная пропускные способности, средняя продолжительность периода занятости СМО, коэффициент использования СМО, коэффициент не использования СМО;

2. Качество обслуживания заявок- среднее время (среднее число заявок, закон распределения) ожидания заявки в очереди или пребывания заявки в СМО; вероятность того, что поступившая заявка немедленно примется к исполнению;

3. Эффективность функционирования пары CМО потребитель, причем под потребителем понимается как совокупность заявок или их некоторый источник (например, средний доход, приносимый СМО за единицу времени эксплуатации, и др).

1.2 Классификация СМО и их основные элементы

СМО классифицируются на разные группы в зависимости от состава и от времени пребывания в очереди до начала обслуживания, и от дисциплины обслуживания требований.

По составу СМО бывают одноканальные (с одним обслуживающим устройством) и многоканальные (с большим числом обслуживающих устройств). Многоканальные системы могут состоять из обслуживающих устройств как одинаковой, так и разной производительности.

По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на три группы:

1) с неограниченным временем ожидания (с ожиданием),

2) с отказами;

3) смешанного типа.

В СМО с неограниченным временем ожидания очередное требование, застав все устройства занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания до тех пор, пока одно из устройств не освободится.

В системах с отказами поступившее требование, застав все устройства занятыми, покидает систему. Классическим примером системы с отказами может служить работа автоматической телефонной станции.

В системах смешанного типа поступившее требование, застав все (устройства занятыми, становятся в очередь и ожидают обслуживания в течение ограниченного времени. Не дождавшись обслуживания в установленное время, требование покидает систему.

Кратко рассмотрим особенности функционирования некоторых из этих ситем.

1. СМО с ожиданием характеризуется тем, что в системе из n (n>=1) любая заявка, поступившая в СМО в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает своего обслуживания, причем любая пришедшая заявка обслужена. Такая система может находится в одном из бесконечного множества состояний: s n +к (r=1.2…) –все каналы заняты и в очереди находится r заявок.

2. СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди отличается от вышеприведенной тем, что эта система может находиться в одном из n+m+1 состояний. В состояниях s 0 ,s 1 ,…, s n очереди не существует, так как заявок в системе или нет или нет вообще и каналы свободны (s 0), или в системе есть несколько I (I=1,n) заявок, которого обслуживает соответствующее (n+1, n+2,…n+r,…,n+m) число заявок и (1,2,…r,…,m) заявок, стоящих в очереди. Заявка, пришедшая на вход СМО в момент времени, когда в очереди стоят уже m заявок, получает отказ и покидает систему необслуженной.

Т.о, многоканальная СМО работает по сути как одноканальная, когда все n каналов работают как один с дисциплиной взаимопомощи, называемой все как один, но с более высокой интенсивностью обслуживания. Граф состояний подобной подобной системы содержит всего два состояния: s 0 (s 1)- все n каналов свободны (заняты).

Анализ различных видов СМО с взаимопомощью типа все как один показывает, что такая взаимопомощь сокращает среднее время пребывания заявки в системе, но ухудшает ряд других таких характеристик, как вероятность отказа, пропускная способность, средние число заявок в очереди и время ожидания их выполнения. Поэтому для улучшения этих показателей используется изменение дисциплины обслуживания заявок с равномерной взаимопомощью между каналами следующим образом:

· Если заявка поступает в СМО в момент времени, когда все каналы свободны, то все n каналов приступает к ее обслуживанию;

· Если в это время приходит следующая заявка, то часть каналов переключается на ее обслуживание

· Если во время обслуживания этих двух заявок поступает третья заявка, то часть каналов переключается на обслуживание этой третьей заявки, до тех пор, пока каждая заявка, находящаяся в СМО, не окажется под обслуживанием только одного канала. При этом заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, в СМО с отказами и равномерной взаимопомощью между каналами, может получить отказ и вынуждена будет покинуть систему необслуженной.

Методы и модели, применяющиеся в теории массового обслуживания, можно условно разделить на аналитические и имитационные.

Аналитические методы теории массового обслуживания позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО. Имитационные методы основаны на моделировании процессов массового обслуживания на ЭВМ и применяются, если невозможно применение аналитических моделей.

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления за время t ровно k требований задается формулой:

Важная характеристика СМО - время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории и особенно в практических приложениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет вид:

Т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется этой формулой, где µ- параметр экспоненциального обслуживания требований в системе, т.е. величина, обратная времени обслуживания t об:

Рассмотрим аналитические модели наиболее распространенных СМО с ожиданием, т.е. таких СМО, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.

Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет n обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование.

В систему поступает простейший (пауссоновский) поток требований c параметром . Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.

В системах с определенной дисциплиной обслуживания поступившее требование, застав все устройства занятыми, в зависимости от своего приоритета, либо обслуживается вне очереди, либо становится в очередь.

Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований.

Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.

В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:

где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований.

Для многих реальных процессов поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим.

Простейший поток обладает такими важными свойствами:

1) Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

2) Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

3) Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований (вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю).

При простейшем потоке требований распределение требований, поступающих в систему подчиняются закону распределения Пуассона:

вероятность того, что в обслуживающую систему за время t поступит именно k требований:

где. - среднее число требований, поступивших на обслуживание в единицу времени.

На практике условия простейшего потока не всегда строго выполняются. Часто имеет место нестационарность процесса (в различные часы дня и различные дни месяца поток требований может меняться, он может быть интенсивнее утром или в последние дни месяца). Существует также наличие последействия, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько клиентов одновременно пребывают на склад за материалами. Однако в целом пуассоновский закон распределения с достаточно высоким приближением отражает многие процессы массового обслуживания.

Кроме того, наличие пуассоновского потока требований можно определить статистической обработкой данных о поступлении требований на обслуживание. Одним из признаков закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания случайной величины и дисперсии этой же величины, т.е.

Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания.

Время обслуживания одного требования ()- случайная величина, которая может изменятся в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований (к примеру, различной грузоподъемности транспортных средств, поступающих под погрузку или выгрузку.

Случайная величина полностью характеризуется законом распределения, который определяется на основе статистических испытаний.

На практике чаще всего принимают гипотезу о показательном законе распределения времени обслуживания.

Показательный закон распределения времени обслуживания имеет место тогда, когда плотность распределения резко убывает с возрастанием времени t. Например, когда основная масса требований обслуживается быстро, а продолжительное обслуживание встречается редко. Наличие показательного закона распределения времени обслуживания устанавливается на основе статистических наблюдений.

При показательном законе распределения времени обслуживания вероятность события, что время обслуживания продлиться не более чем t, равна:

где v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством, которая определяется из соотношения:

где - среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

Следует заметить, что если закон распределения времени обслуживания показательный, то при наличии нескольких обслуживающих устройств одинаковой мощности закон распределения времени обслуживания несколькими устройствами будет также показательным:

где n - количество обслуживающих устройств.

Важным параметром СМО является коэффициент загрузки , который определяется как отношение интенсивности поступления требований к интенсивности обслуживания v.

где a - коэффициент загрузки; - интенсивность поступления требований в систему; v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

Из (1) и (2) получаем, что

Учитывая, что - интенсивность поступления требований в систему в единицу времени, произведение показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за среднее время обслуживания одного требования одним устройством.

Для СМО с ожиданием количество обслуживаемых устройств п должно быть строго больше коэффициента загрузки (требование установившегося или стационарного режима работы СМО) :

В противном случае число поступающих требований будет больше суммарной производительности всех обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти.

Для СМО с отказами и смешанного типа это условие может быть ослаблено, для эффективной работы этих типов СМО достаточно потребовать, чтобы минимальное количество обслуживаемых устройств n было не меньше коэффициента загрузки :

1.3 Процесс имитационного моделирования

Как уже было отмечено ранее, процесс последовательной разработки имитационной модели начинается с создания простой модели, которая затем постепенно усложняется в соответствии с требованиями, предъявляемыми решаемой проблемой. В процессе имитационного моделирования можно выделить следующие основные этапы:

1. Формирование проблемы: описание исследуемой проблемы и определение целей исследования.

2. Разработка модели: логико-математическое описание моделируемой системы в соответствии с формулировкой проблемы.

3. Подготовка данных: идентификация, спецификация и сбор данных.

4. Трансляция модели: перевод модели на язык, приемлемый для используемой ЭВМ.

5. Верификация: установление правильности машинных программ.

6. Валидация: оценка требуемой точности и соответствие имитационной модели реальной системе.

7. Стратегическое и тактическое планирование: определение условий проведения машинного эксперимента с имитационной моделью.

8. Экспериментирование: прогон имитационной модели на ЭВМ для получения требуемой информации.

9. Анализ результатов: изучение результатов имитационного эксперимента для подготовки выводов и рекомендаций по решению проблемы.

10. Реализация и документирование: реализация рекомендаций, полученных на основе имитации, составление документации по модели и ее использованию.

Рассмотрим основные этапы имитационного моделирования. Первой задачей имитационного исследования является точное определение проблемы и детальная формулировка целей исследования. Как правило, определение проблемы является непрерывным процессом, который обычно осуществляется в течении всего исследования. Оно пересматривается по мере более глубокого понимания исследуемой проблемы и возникновения новых ее аспектов.

Как только сформулировано начальное определение проблемы, начинается этап построения модели исследуемой системы. Модель включает статистическое и динамическое описание системы. В статистическом описании определяются элементы системы и их характеристики, а в динамическом- взаимодействие элементов системы, в результате которых происходит изменение ее состояния во времени.

Процесс формирования модели во многом является искусством. Разработчик модели должен понять структуру системы, выявить правила ее функционирования и суметь выделить в них самое существенное, исключив ненужные детали. Модель должна быть простой для понимания и в то же время достаточно сложной, чтобы реалистично отображать характерные черты реальной системы. Наиболее важными являются принимаемые разработчиком решения относительно того, верны ли принятые упрощения и допущения, какие элементы и взаимодействия между ними должны быть включены в модель. Уровень детализации модели зависит от целей ее создания. Необходимо рассматривать только те элементы, которые имеют существенное значение для решения исследуемой проблемы. Как на этапе формирования проблемы, так и на этапе моделирования необходимо тесное взаимодействие между разработчиком модели и ее пользователями. Кроме того, тесное взаимодействие на этапах формулирования проблемы и разработки модели создает у пользователя уверенность в правильности модели, поэтому помогает обеспечить успешную реализацию результатов имитационного исследования.

На этапе разработки модели определяются требования к входным данным. Некоторые из этих данных могут уже быть в распоряжении разработчика модели, в то время как для сбора других потребуется время и усилия. Обычно значение таких входных данных задаются на основе некоторых гипотез или предварительного анализа. В некоторых случаях точные значения одного (и более) входных параметров оказывают небольшое влияние на результаты прогонов модели. Чувствительность получаемых результатов к изменению входных данных может быть оценена путем проведения серии имитационных прогонов для различных значений входных параметров. Имитационная модель, следовательно, может использоваться для уменьшения затрат времени и средств на уточнение входных данных. После того как разработана модель и собраны начальные входные данные, следующей задачей является перевод модели в форму, доступную для компьютера.

На этапах верификации и валидации осуществляется оценка функционирования имитационной модели. На этапе верификации определяется, соответствует ли запрограммированная для ЭВМ модель замыслу разработчика. Это обычно осуществляется путем ручной проверки вычисления, а также может быть использован и ряд статистических методов.

Установление адекватности имитационной модели исследуемой системы осуществляется на этапе валидации. Валидация модели обычно выполняется на различных уровнях. Специальные методы валидации включают установление адекватности путем использования постоянных значений всех параметров имитационной модели или путем оценивания чувствительности выходов к изменению значений входных данных. В процессе валидации сравнение должно осуществляться на основе анализа как реальных, так и экспериментальных данных о функционировании системы.

Условия проведения машинных прогонов модели определяется на этапах стратегического и тактического планирования. Задача стратегического планирования заключается в разработке эффективного плана эксперимента, в результате которого выясняется взаимосвязь между управляемыми переменными, либо находится комбинация значений управляемых переменных, минимизация или максимизация имитационной модели. В тактическом планировании в отличии от стратегического решается вопрос о том, как в рамках плана эксперимента провести каждый имитационный прогон, чтобы получить наибольшее количество информации из выходных данных. Важное место в тактическом планировании занимают определение условий имитационных прогонов и методы снижения дисперсии среднего значения отклика модели.

Следующие этапы в процессе имитационного исследования- проведение машинного эксперимента и анализ результатов- включают прогон имитационной модели на ЭВМ и интерпретацию полученных выходных данных. Последним этапом имитационного исследования является реализация полученных решений и документирование имитационной модели и ее использование. Ни одни из имитационных проектов не должен считаться законченным до тех пор, пока их результаты не были использованы в процессе принятия решений. Успех реализации во многом зависит от того, насколько правильно разработчик модели выполнил все предыдущие этапы процессов имитационного исследования. Если разработчик и пользователь работали в тесном контакте и достигли взаимопонимания при разработке модели и ее исследовании, то результат проекта скорее всего будет успешно внедряться. Если же между ними не было тесной взаимосвязи, то, несмотря на элегантность и адекватность имитационного моделирования, сложно будет разработать эффективные рекомендации.

Вышеперечисленные этапы редко выполняются в строго заданной последовательности, начиная с определения проблемы и кончая документированием. В ходе имитационного моделирования могут быть сбои в прогонах модели, ошибочные допущения, от которых в дальнейшем приходится отказываться, переориентировки целей исследования, повторные оценки и перестройки модели. Такой процесс позволяет разработать имитационную модель, которая дает верную оценку альтернатив и облегчает процесс принятия решений.

Глава 2. Распределения и генераторы псевдослучайных чисел

Ниже будут использованы следующие обозначения:

X - случайная величина; f(х) - функция плотности вероятности X; F(х) - функция вероятности X;

а - минимальное значение;

b - максимальное значение;

μ -математическое ожидание М[Х]; σ2 -дисперсия М[(Х-μ)2];

σ -среднеквадратичное отклонение; α-параметр функции плотности вероятности;

Очередь длины k, остается в ней с вероятностью Pk и не присоединяется к очереди с вероятностью gk=1 - Pk,". именно так обычно ведут себя люди в очередях. В системах массового обслуживания, являющихся математическими моделями производственных процессов, возможная длина очереди ограничена постоянной величиной (емкость бункера, например). Очевидно, это частный случай общей постановки. Некоторые...

• абсолютная и относительная пропускная способность системы;
• коэффициенты загрузки и простоя;
• среднее время полной загрузки системы;
• среднее время пребывания заявки в системе.

• P обс – вероятность обслуживания заявки,
• t сист – время пребывания заявки в системе.

• λ b – абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени),
• P обс – относительная пропускная способность системы,
• k з – коэффициент загрузки системы.

Задача . В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение. По условию n=3, λ=0,25(1/ч), t об. =3 (ч). Интенсивность потока обслуживаний μ=1/t об. =1/3=0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) ρ=0,25/0,33=0,75. Найдем предельные вероятности состояний:
по формуле (25) p 0 =(1+0,75+0,75 2 /2!+0,75 3 /3!) -1 =0,476;
по формуле (26) p 1 =0,75∙0,476=0,357; p 2 =(0,75 2 /2!)∙0,476=0,134; p 3 =(0,75 3 /3!)∙0,476=0,033 т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени - три заявки (заняты три ЭВМ).
Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P отк. =p 3 =0,033.
По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q = 1-0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.
По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A= 0,25∙0,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.
По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ k =0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 =24,2%.
При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

Задача . В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.
Решение. Имеем ρ = λ/μ = μt об. =0,4∙2=0,8. Так как ρ = 0,8 < 1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.
Вероятность того, что причал свободен, по (33) p 0 = 1 - 0,8 = 0,2, а вероятность того, что он занят, P зан. = 1-0,2 = 0,8. По формуле (34) вероятности того, что у причала находятся 1, 2, 3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0, 1, 2 судна), равны p 1 = 0,8(1-0,8) = 0,16; p 2 = 0,8 2 ∙(1-0,8) = 0,128; p 3 = 0,8 3 ∙(1-0,8) = 0,1024.
Вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна, равна
P=p 1 +p 2 +p 3 = 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904
По формуле (40) среднее число судов, ожидающих разгрузки
L jч =0,8 2 /(1-0,8) = 3,2
а среднее время ожидания разгрузки по формуле (15.42)
T оч =3,2/0,8 = 4 сутки.
По формуле (36) среднее число судов, находящихся у причала, L сист. = 0,8/(1-0,8) = 4 (сутки) (или проще по (37) L сист. = 3,2+0,8 = 4 (сутки), а среднее время пребывания судна у причала по формуле (41) T сист = 4/0,8 = 5 (сутки).
Очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна t об либо увеличение числа причалов n .

Задача . В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью λ = 81 чел. в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя t об = 2 мин. Определить:
а. Минимальное количество контролеров-кассиров п min , при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n=n min .
б. Оптимальное количество n опт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат С отн., связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=n min и n=n опт.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.
Решение.
а. По условию l = 81(1/ч) = 81/60 = 1,35 (1/мин.). По формуле (24) r = l/ m = lt об = 1,35×2 = 2,7. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии r/n < 1, т.е. при n > r = 2,7. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров n min = 3.
Найдем характеристики обслуживания СМО при п = 3.
Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, по формуле (45) p 0 = (1+2,7+2,7 2 /2!+2,7 3 /3!+2,7 4 /3!(3-2,7)) -1 = 0,025, т.е. в среднем 2,5% времени контролеры-кассиры будут простаивать.
Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, по (48) P оч. = (2,7 4 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735
Среднее число покупателей, находящихся в очереди, по (50) L оч. = (2,7 4 /3∙3!(1-2,7/3) 2)0,025 = 7,35.
Среднее время ожидания в очереди по (42) T оч. = 7,35/1,35 = 5,44 (мин).
Среднее число покупателей в узле расчета по (51) L сист. = 7,35+2,7 = 10,05.
Среднее время нахождения покупателей в узле расчета по (41) T сист. = 10,05/1,35 = 7,44 (мин).
Таблица 1